Möller–Trumbore

traingle

一条射线：

P (t) = orig + t \cdot dir, t > 0

一个三角形（用重心坐标表示）：

P (u, v) = v_{0} + u e_{1} + v e_{2}, u \geq 0, v \geq 0, u + v \leq 1

其中：

triangle

P (u, v) = v_{0} + u (v_{1} - v_{0}) + v (v_{2} - v_{0})

重新整理各项系数：

P (u, v) = (1 - u - v) v_{0} + u v_{1} + v v_{2}

$w = 1 - u - v$ ，则上式可以写为标准的重心坐标形式：

P = w v_{0} + u v_{1} + v v_{2} 其中 w + u + v = 1

(平面向量)

相交

orig + t dir = v_{0} + u e_{1} + v e_{2}

- t dir + u e_{1} + v e_{2} = orig - v_{0}

记 $S = orig - v_{0}$ ，

[\begin{matrix} - dir & e_{1} & e_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} t \\ u \\ v \end{matrix}] = S

一个 3×3 线性方程组 $A x = S$ ，其中列向量是 $- dir, e_{1}, e_{2}$ ，未知量是 $(t, u, v)$ 。

2.

设矩阵 $A = [- dir, e_{1}, e_{2}]$ ，则：

t = \frac{det [S, e_{1}, e_{2}]}{det A}, u = \frac{det [- dir, S, e_{2}]}{det A}, v = \frac{det [- dir, e_{1}, S]}{det A}

det [a, b, c] = a \cdot (b \times c)

几何

面积或体积,

后面张成平行六面体体积=高*底S。