点积、投影与展开系数

从三维向量说起

一个三维向量 $\vec{v}$ 在正交坐标轴 ${\vec{e}}_{x}, {\vec{e}}_{y}, {\vec{e}}_{z}$ 下可以写成：

\vec{v} = c_{x} {\vec{e}}_{x} + c_{y} {\vec{e}}_{y} + c_{z} {\vec{e}}_{z}

投影 / 点积：

c_{x} = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{x}

c_{y} = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{y}

c_{z} = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{z}

系数 = 函数和基函数的“点积”。

把“球面上的函数 $f (ω)$ ”看成一个无穷维向量，
球谐基函数 $Y_{l}^{m} (ω)$ 就是它的正交坐标轴。

于是可以展开为：

f (ω) = \sum_{l, m} c_{l}^{m} Y_{l}^{m} (ω)

就是 $f$ 在轴 $Y_{l}^{m}$ 上的投影（在函数空间里的点积）：

c_{l}^{m} = \int_{Ω} f (ω) Y_{l}^{m} (ω) d ω