BRDF | tinf

Bidirectional Reflectance Distribution Function

Define

BSDF

BRDF $f_{r} (ω_{i}, ω_{o})$ ，被严格定义为沿出射方向 $ω_{o}$ 的微分出射辐射率 $d L_{o} (ω_{o})$ ，与从入射方向 $ω_{i}$ 投射到该表面的微分辐照度 $d E (ω_{i})$ 之比。

Radiometry

f_{r} (ω_{i}, ω_{o}) = \frac{d L_{o} (ω_{o})}{d E (ω_{i})} = \frac{d L_{o} (ω_{o})}{L_{i} (ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i}}

$ω_{i}$ ：入射方向。
$ω_{o}$ ：出射（观察）方向。
$L_{i} (ω_{i})$ ：沿入射方向到达表面的入射辐射率。
$d L_{o} (ω_{o})$ ：由于该方向的入射光，而在出射方向激发的微分散射辐射率。
$\cos θ_{i}$ ：入射方向与表面法线的夹角的余弦值，引入此项是为了将辐射率转换为表面上的辐照度（Lambert余弦定理，表示光束截截面积与表面面积的投影关系）。

L_{o} (p, ω_{o}) = \int_{Ω^{+}} f_{r} (p, ω_{i}, ω_{o}) L_{i} (p, ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i}

$f_{r} = \frac{ρ}{π}$

其中， $ρ$ （Albedo，反照率）表示该表面反射光线能量的比例，取值范围是 $[0, 1]$ （Base Color/texture or）。

Details

以下是推导解释 $f_{r} = \frac{ρ}{π}$

理想漫反射的物理定义

理想漫反射表面的核心特性是：无论从上半球的任何角度观察，其表面特定点的亮度（出射辐射率 $L_{o}$ ）都是完全相同的。 这意味着 $L_{o}$ 是一个与观察方向 $ω_{o}$ 无关的常数。既然 $L_{o}$ 在各个方向均匀分布，那么描述该分布的 BRDF 函数 $f_{r}$ 自然也是一个常数。

为了求出这个常数，我们需要引入出射度 (Radiant Exitance, $M$ ) 的概念。

出射度表示单位面积向整个上半球 $Ω^{+}$ 发射的总能量密度。它是出射辐射率 $L_{o}$ 在半球上的积分：

M = \int_{Ω^{+}} L_{o} \cos θ_{o} d ω_{o}

因为对于理想漫反射，辐射率 $L_{o}$ 是常数，可以将其提到积分号外：

M = L_{o} \int_{Ω^{+}} \cos θ_{o} d ω_{o}

在球坐标系中展开立体角微分 $d ω_{o} = \sin θ_{o} d θ_{o} d ϕ_{o}$ ，计算半球积分的余弦项：

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos θ_{o} \sin θ_{o} d θ_{o} d ϕ_{o} = π

M = L_{o} π \Rightarrow L_{o} = \frac{M}{π}

得出 BRDF

反照率 $ρ$ 的物理定义是：表面向外发射的总能量（出射度 $M$ ）与接收到的总能量（辐照度 $E$ ）之比：

ρ = \frac{M}{E} \Rightarrow M = ρ E

将 $M$ 代入上一步的式子中，得到：

L_{o} = \frac{ρ E}{π}

根据上一节骤中 BRDF 的定义 $f_{r} = \frac{d L_{o}}{d E}$ ，对上式求导，最终得出：

f_{r} = \frac{ρ}{π}

Define ​

fr=ρπ ​

理想漫反射的物理定义 ​

得出 BRDF ​

Define

$f_{r} = \frac{ρ}{π}$

理想漫反射的物理定义

得出 BRDF